【野球×経済学】カウント別のベストな配球とは？ゲーム理論を野球に応用してみた

この記事のまとめ

・経済学では一般的な理論である「ゲーム理論」を野球に応用してみた。

・カウント3-0の場合、バッターは見逃すことが最も効果が高く

・カウント3-2でピッチャーは変化球を投げることが理論上最も効果が高いとゲーム理論では導き出された。

【目次】

　-カウント3-2でピッチャーは変化球を投げろ

-ピッチャーの選択肢

　　-バッターの選択肢

　　-ゲーム理論による分析

　　-ゲーム理論での答え

　-まとめ

はじめに（野球において悩むカウント）

今回は野球において誰もが悩むであろう

「カウント3-0、3-2でとるべき打撃、配球は？」

という疑問について、経済学で使用されている「ゲーム理論」を用いて最も”合理的な選択”を明らかにしたいと思います！

「ゲーム理論」とは

解を紹介する前に、まずゲーム理論について簡単に説明します。

ゲーム理論とは

意思決定の問題や、行動の相互依存的状況を数学的なモデルを用いて分析する理論です。

もう少し分かりやすく説明すると、

「相手がいる状況で、自分がどのような行動をすれば最も有利になるかを考える理論」です。

ここでは、「様々な状況を分析し、最適な行動を考える理論の一つ」と覚えておいてください！

”囚人のジレンマ”と言われるゲーム理論を分かりやすく説明した例もあるので、興味のある方はググってみてください。

この理論は現在、他社の行動と自分の行動でさまざまなパターンが考えられる中、自分の利得をいかに高めるかを考えないといけない状況、いわゆる「戦略的状況」を対象としてさまざまな分野に応用されています。

最近ではこういった「戦略的状況」の対象として、ゲーム理論は経済学だけでなく経営学、政治学、法学、社会学、人類学、心理学、生物学、工学、コンピュータ科学などのさまざまな学問分野にも見られるため、ゲーム理論はこれらにも応用されているそうです。

※今回は、ゲーム理論を使って、数学的に最も合理的な選択はどれかという観点で分析しています。分析結果はあくまで参考値として頭に入れたうえで、実際の試合の流れや打者・投手の相性も考慮してプレーしていくことが大切です！

カウント3-0でバッターは見逃せ

それでは、様々な分野で応用されている「ゲーム理論」を野球にも適用してみましょう。

まず、カウント3-0の場面で、ピッチャーとバッターはそれぞれどうすべきか？

ゲーム理論でもっとも合理的な選択を分析していきます。

｜ピッチャーの選択肢

3-0において、ピッチャーには主に2つの選択肢があるとする。

※ここでの前提として、フォアボールは極力出さず、現在のバッターと勝負する場面とする

【選択肢1】：バッターが1球見逃す可能性があるため、ど真ん中に投げる。

【選択肢2】：バッターが打つ可能性があるため、打ってもヒットになりにくいようなコーナーギリギリにストライクを投げる。

｜バッターの選択肢

バッターにも主に2つの選択肢があるとします。

【選択肢1】：変化球などでストライクからボールになる投げる可能性があるので、1球見逃すよう意識する

【選択肢2】：打てると思ったボールはスイングするように意識する

｜ゲーム理論による分析

先ほどのピッチャー、バッターの選択肢をゲーム理論に従ってまとたのが以下のマトリクスです。

ゲーム理論に従ってそれぞれのパターンの”効果”と”リスク”を数値で示しています。

数値が大きいほどその効果やリスクは高いことを示しています。

※マトリクスおよび分析結果は米国の「Baseball Data Science」という組織のデータサイエンティストMicah Melling氏による研究結果から出典しています。

・左上のマス

まずピッチャーがど真ん中のボールに投げて、バッターがスイングすることを選択した場合、バッターはど真ん中のボールを打つため、5の効果があります。（つまり、ヒットの可能性が高くなります）

反対にピッチャーはヒットを打たれる可能性が高いため、-5のリスクになります。

・右上のマス

バッターがコーナーギリギリのボールをスイングする場合、一般的にヒットが打ちにくいため、スイングしても凡打又は空振りする可能性がありバッターは-1のリスクがあります。

ピッチャーはストライク又はアウトにできるので1の効果があります。

・左下のマス

バッターがど真ん中のボールにスイングしない場合、ヒットを打つ機会を逃したので-2のリスクを受けます。

同様に、ピッチャーは労力をかけず簡単にストライクカウントを獲得できるため2の効果を得ます。

・右下のマス

バッターがコーナーギリギリの投球でスイングしない場合、3ボール1ストライクのカウントで次の勝負に移るため効果もリスクも0となります。

｜ゲーム理論での答え

ではこれらの条件をもとに、ゲーム理論からはじき出された最も合理的な行動を見てみましょう。

これはゲーム理論の分析法の1つである「混合戦略のナッシュ均衡」という方法で分析できます。

混合戦略のナッシュ均衡の詳しい説明はここでは割愛しますが、

簡単にいうと「完全にどれかの選択肢に決めきれないため、○○％でこの選択肢を選ぶことが最も合理的である」という形で解を導き出す分析方法です。

それでは「混合戦略のナッシュ均衡」を使用し、カウント3-0での合理的な行動はいったいどのようなものになるか見てみましょう。

カウント3-0における解

・バッターは14％の確率でスイングし、86％の確率で見逃す必要がある

（MLBのバッターは通常、3-0カウントで約6.5％の確率でスイングしている）

・ピッチャーは13％の確率ど真ん中を投げ、87％の確率でコーナーに投げる必要がある

だと分析されています。

つまりバッターは見逃す選択が数学的に合理的に効果が高くなりやすく、

ピッチャーはコーナーギリギリに投げる選択が数学的に効果が高くなりやすいということです。

よく、3-0では”見逃せ”とバッターにサインを送る攻撃側の監督は、あながち間違った選択ではないようですね。